Terza legge di Keplero: ecco qual è

Che cosa afferma la terza legge di Keplero? Qual è la relazione esistente tra gli enunciati dell’astronomo tedesco e la distanza sole terra? Quali sono le formule che sintetizzano le tre leggi riguardanti il moto dei pianeti intorno al sole?

A queste e ad altre domande risponderemo nel corso di questo articolo.

Se la tua ambizione è studiare ingegneria per diventare un ingegnere aerospaziale o per lavorare nel campo dell’astrofisica, allora questo post fa proprio al caso tuo.

La lettura dei prossimi paragrafi ti consentirà di avere una panoramica completa, e allo stesso tempo sintetica, della materia.

Non ti resta che iniziare a leggere …

Leggi di Keplero

Le leggi di Keplero sono tre e riguardano il moto dei pianeti intorno al sole.

Gli enunciati prendono il nome dall’astronomo tedesco Giovanni Keplero, colui il quale tra il 1608 e il 1619 li ha formulati.

Prima di entrare nel dettaglio è d’obbligo una breve premessa storica.

Basandosi sul sistema eliocentrico introdotto da Niccolò Copernico e sugli studi del suo maestro, Tycho Brahe, Keplero formula le tre leggi che descrivono matematicamente il moto compiuto dai pianeti intorno al sole percorrendo orbite ellittiche.

La sua intuizione geniale ha totalmente stravolto la teoria, fino ad allora ritenuta valida, secondo la quale il movimento dei pianeti è una caratteristica intrinseca dei corpi. Egli infatti ha intuito che l’orbita descritta dai pianeti è in realtà determinata dalla forza esercitata dal sole.

Keplero si è limitato a descrivere il moto di rivoluzione ma non è arrivato a spiegare la natura e le cause della forza.

Fu Isaac Newton, successivamente, a dedurre dalla tre leggi formulate dal collega la spiegazione dinamica dei moti planetari; fu Newton ad identificare nella forza di gravitazione universale la causa dei movimenti compiuti dai pianeti intorno al sole.

A Newton si deve anche la dimostrazione inversa del teorema: dalla sua legge generale e dalla forza di gravità è possibile ottenere le tre leggi di Keplero.

In questo articolo l’Università Telematica Niccolò Cusano di Udine ha deciso di descrivere in maniera semplice e sintetica la terza legge, che rappresenterà quindi il focus del nostro post.
Prima però è fondamentale una panoramica generale delle prime due.

Procediamo per gradi …

Prima legge

La prima legge di Keplero, detta anche ‘legge delle orbite ellittiche’, afferma che i pianeti ruotano intorno al sole descrivendo orbite ellittiche.
Il sole occupa uno dei due fuochi dell’ellissi.

Seconda legge

La seconda legge di Keplero, detta anche ‘legge delle aree’, afferma che il raggio vettore che congiunge un pianeta al sole spazza aree uguali in tempi uguali.
Ne consegue che la velocità del movimento dei pianeti non è costante; essa dipende dalla distanza dal sole.
La velocità aumenta man mano che il pianeta si avvicina al sole (perielio); viceversa diminuisce quando si allontana  (afelio).

Terza legge

Eccoci giunti nel cuore del nostro post: la terza legge di Keplero, la quale esprime la relazione tra il periodo di rivoluzione e la distanza media tra i pianeti e il sole.
La stessa legge vale anche per i satelliti che orbitano intorno ai pianeti.

L’enunciato, conosciuto anche come ‘legge dei periodi’,  afferma che:

“il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell’orbita e il quadrato del periodo di rivoluzione è lo stesso per tutti i pianeti”

Nel caso specifico con il termine rivoluzione si intende il movimento che il pianeta effettua attorno al sole per compiere un’orbita completa.
Detto in parole più semplici: il quadrato del tempo che ogni pianeta impiega a percorrere la propria orbita è proporzionale al cubo della loro distanza media dal sole.

Cerchiamo però di capire da dove è partito l’astronomo per arrivare a individuare la relazione matematica esistente tra le due grandezze che caratterizzano il moto dei pianeti ossia tra ‘T’ (il periodo del moto di rivoluzione) e ‘R’ (distanza dal sole).

Il ragionamento

Per ogni pianeta conosciuto, Keplero ha realizzato un grafico apponendo sull’asse x i dati di R e sull’asse y i dati relativi a T.
Il grafico che scaturisce dall’unione dei punti non è una retta né tanto meno un arco di parabola.
Da ciò ha dedotto che la relazione esistente tra il periodo e la distanza non è lineare e non è neanche un rapporto di proporzionalità quadratica.

La formula

La formula che sintetizza la terza legge di Keplero è la seguente:

T²=KR³

dove K indica una costante (detta ‘costante di Keplero’), T indica il periodo di rivoluzione e R indica il raggio dell’orbita (distanza tra il sole e il pianeta).

Le deduzioni

Il quadrato del periodo di rivoluzione è direttamente proporzionale al cubo del semiasse maggiore; ciò significa che all’aumentare della distanza di un pianeta dal sole aumenta anche il tempo impiegato per percorrere la sua stessa orbita.

In estrema sintesi: i pianeti più vicini al sole sono caratterizzati da periodi di rivoluzione più brevi rispetto a quelli relativi ai pianeti più lontani.